Дзе́та-фу́нкция Ри́мана — функция ${\displaystyle \displaystyle \zeta (s)}$ комплексного переменного ${\displaystyle s=\sigma +it}$, при ${\displaystyle \sigma >1}$, определяемая с помощью ряда Дирихле:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\ldots .}$

В комплексной полуплоскости ${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} s>1\}}$ этот ряд сходится, является аналитической функцией от ${\displaystyle s}$ и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, за исключением особой точки ${\displaystyle s=1}$.

Дзета-функция Римана играет очень важную роль в аналитической теории чисел, имеет приложения в теоретической физике, статистике, теории вероятностей.

В частности, если будет доказана или опровергнута до сих пор ни доказанная, ни опровергнутая гипотеза Римана о положении всех нетривиальных нулей дзета-функции на прямой комплексной плоскости ${\displaystyle \operatorname {Re} s=1/2}$, то многие важные теоремы о простых числах, опирающиеся в доказательстве на гипотезу Римана, станут либо истинными, либо ложными.